Vurder den uendelige rekkefølge MA prosessen definert av ytepsilonta (epsilon epsilon.), Hvor a er en konstant og epsilonene er i. i.d. N (0, v) tilfeldig variabel. Hva er den beste måten å vise at yt er nonstationary Jeg vet at jeg trenger å se på egenskapene polynomiske karakteristiske røtter og deretter vurdere om de er utenfor enhetens krets, men hva er den beste måten å nærme seg dette problemet på Skal jeg prøve å omskrive den uendelige rekkefølgen MA-prosessen som en endelig AR-prosess, eller er det lettere å jobbe MA-prosessen spurte 19 okt 13 kl 21: 11What er stasjonær autoregressiv (AR), glidende gjennomsnittlig (MA) og stasjonær blandet (ARMA ) prosesser Stasjonær autoregressiv (AR) prosess Stasjonære autoregressive (AR) prosesser har teoretiske autokorrelasjonsfunksjoner (ACFs) som forfall mot null, i stedet for å kutte til null. Autokorrelasjonskoeffisientene kan alternere i tegn ofte, eller vise et bølgelignende mønster, men i alle tilfeller svinger de av mot null. AR-prosesser med ordre p har derimot teoretiske partielle autokorrelasjonsfunksjoner (PACF) som kuttes til null etter lag p. (Lagslengden til den endelige PACF-spissen tilsvarer AR-rekkefølgen av prosessen, s.) Flytende gjennomsnittlig (MA) - prosess De teoretiske ACF-ene av MA (glidende gjennomsnitt) prosesser med ordre q kuttet av til null etter lag q, MA-ordren av prosessen. Men deres teoretiske PACFer forfall mot null. (Laglengden til den endelige ACF-spissen er MA-rekkefølgen av prosessen, q.) Stasjonær blandet (ARMA) prosess Stasjonær blandet (ARMA) prosesser viser en blanding av AR og MA egenskaper. Både den teoretiske ACF og PACF svinger av mot null. Opphavsrett 2016 Minitab Inc. Alle rettigheter reservert.4.2 Lineære stasjonære modeller for Time Series hvor den tilfeldige variabelen kalles innovasjonen fordi den representerer delen av den observerte variabelen som er uforutsigbar gitt de siste verdiene. Den generelle modellen (4.4) antar det som er resultatet av et lineært filter som forandrer de siste innovasjonene, det vil si en lineær prosess. Denne linearitetsforutsetningen er basert på Wolds dekomponeringsteorem (Wold 1938) som sier at en hvilken som helst diskret, stasjonær kovariansprosess kan uttrykkes som summen av to ukorrelerte prosesser, hvor det er rent deterministisk og er en rent ubestemt prosess som kan skrives som en lineær summen av innovasjonsprosessen: hvor er en sekvens av serielt ukorrelerte tilfeldige variabler med null gjennomsnitt og felles varians. Tilstand er nødvendig for stasjonar. Formuleringen (4.4) er en endelig reparametrizering av den uendelige representasjonen (4.5) - (4.6) med konstant. Det er vanligvis skrevet i forhold til lagoperatøren definert av, som gir et kortere uttrykk: hvor lagoperatørpolynomene og er kalt polynomial og polynomial, henholdsvis. For å unngå parameterredundans antar vi at det ikke er felles faktorer mellom komponentene og komponentene. Deretter skal vi studere plottet til noen tidsserier generert av stasjonære modeller med sikte på å bestemme hovedmønstrene av deres tidsmessige evolusjon. Figur 4.2 inneholder to serier generert fra følgende stasjonære prosesser beregnet ved hjelp av genarma-kvantet: Figur 4.2: Tidsserier generert av modeller Som forventet beveger begge tidsserier seg rundt et konstant nivå uten endringer i varians på grunn av den stasjonære egenskapen. Videre er dette nivået nær det teoretiske gjennomsnittet av prosessen, og avstanden til hvert punkt til denne verdien er svært sjelden utenfor grensene. Videre viser utviklingen av serien lokale avvik fra middelprosessen, som er kjent som den gjennomsnittlige reversjonsadferd som karakteriserer stasjonære tidsserier. La oss studere detaljert egenskapene til de forskjellige prosessene, spesielt autokovariansfunksjonen som fanger de dynamiske egenskapene til en stokastisk stasjonær prosess. Denne funksjonen avhenger av måleenhetene, så det vanlige målet på gradvis linearitet mellom variabler er korrelasjonskoeffisienten. Ved stasjonære prosesser defineres autokorrelasjonskoeffisienten ved lag, betegnet ved, som korrelasjonen mellom og: Autokorrelasjonsfunksjonen (ACF) er autokovariansfunksjonen som standardiseres av variansen. Egenskapene til ACF er: Gitt symmetriegenskapen (4.10), representeres ACF vanligvis ved hjelp av et strekkdiagram ved de ikke-negative lag som kalles det enkle korrelogrammet. Et annet nyttig verktøy for å beskrive dynamikken til en stasjonær prosess er den delvise autokorrelasjonsfunksjonen (PACF). Den delvise autokorrelasjonskoeffisienten ved lag måler den lineære sammenhengen mellom og justeres for effektene av mellomverdiene. Derfor er det bare koeffisienten i den lineære regresjonsmodellen: Egenskapene til PACF er ekvivalente med ACF (4.8) - (4.10) og det er lett å bevise det (Box og Jenkins 1976). Som ACF, er den delvise autokorrelasjonsfunksjonen ikke avhengig av måleenhetene, og den er representert ved hjelp av et strekkdiagram på de ikke-negative lag som kalles delvis korrelogram. De dynamiske egenskapene til hver stasjonær modell bestemmer en bestemt form for korrelogrammene. Videre kan det påvises at for enhver stasjonær prosess, begge funksjoner, ACF og PACF, nærmer seg null når laget har en tendens til uendelig. Modellene er ikke alltid stasjonære prosesser, så det er først å bestemme betingelsene for stasjonar. Det er underkategorier av modeller som har spesielle egenskaper, slik at vi skal studere dem separat. Dermed, når og, det er en hvit støyprosess. når det er en ren, flytende gjennomsnittsprosess. , og når det er en ren autoregressiv prosessordre. . 4.2.1 Hvit støyprosess Den enkleste modellen er en hvit støyprosess, hvor er en sekvens av ukorrelerte null-middelvariabler med konstant varians. Det er betegnet av. Denne prosessen er stasjonær hvis dens varians er begrenset, siden gitt at: verifiserer betingelsene (4.1) - (4.3). Videre er ukorrelert over tid, slik at autokovariansfunksjonen er: Figur 4.7 viser to simulerte tidsserier generert fra prosesser med null gjennomsnitt og parametre og -0,7. Den autoregressive parameteren måler persistensen av tidligere hendelser i gjeldende verdier. For eksempel, hvis et positivt (eller negativt) sjokk påvirker positivt (eller negativt) for en tidsperiode som er lengre jo større er verdien av. Når serierne beveger seg mer grovt rundt gjennomsnittet på grunn av vekslingen i retning av effekten av, det vil si et sjokk som påvirker positivt i øyeblikket, har negative virkninger på, positivt i. Prosessen er alltid inverterbar, og den er stasjonær når parameteren til modellen er begrenset til å ligge i regionen. For å bevise den stasjonære tilstanden skriver vi først i den bevegelige gjennomsnittsformen ved rekursiv substitusjon av i (4.14): Figur 4.8: Befolkningskorrelogrammer for prosesser Det er en vektet sum av tidligere innovasjoner. Vektene avhenger av verdien av parameteren: når, (eller) øker innflytelsen av en gitt innovasjon (eller reduserer) gjennom tiden. Ved å ta forventninger til (4,15) for å beregne prosessens gjennomsnitt, får vi: Gitt det er resultatet en sum av uendelige termer som kun konvergerer for all verdi hvis i hvilket tilfelle. Et lignende problem vises når vi beregner det andre øyeblikket. Beviset kan forenkles, forutsatt at det vil si at. Da er variansen: Igjen går variansen til uendelig bortsett fra, i hvilket tilfelle. Det er enkelt å verifisere at både gjennomsnittet og variansen eksploderer når denne tilstanden ikke holder. Autokovariansfunksjonen til en stasjonær prosess er derfor autokorrelasjonsfunksjonen for den stasjonære modellen: Det vil si at korrelogrammet viser et eksponensielt henfall med positive verdier, alltid hvis det er positivt og med negative positive svingninger hvis det er negativt (se figur 4.8). Videre reduseres hastigheten av forfall som øker, jo større er verdien av jo sterkere den dynamiske korrelasjonen i prosessen. Endelig er det en cutoff i den delvise autokorrelasjonsfunksjonen ved første lag. Figur 4.9: Befolkningskorrelogrammer for prosesser Det kan vises at den generelle prosessen (Box og Jenkins 1976): Står bare hvis røttene til polynomets karakteristiske likning ligger utenfor enhetens sirkel. Midten av en stasjonær modell er. Er alltid invertible for noen verdier av parametrene. Den ACF går til null eksponentielt når røttene til er reelle eller med sinus-cosinusbølgefluktuasjoner når de er komplekse. Det er PACF som har en cutoff på laget, det vil si. Noen eksempler på Korrelogrammer for mer komplekse modeller, som for eksempel, kan ses i figur 4.9. De er svært lik mønstrene når prosessene har reelle røtter, men har en helt annen form når røttene er komplekse (se det første grafikkbildet i figur 4.9). 4.2.4 Autoregressive Moving Average Model Den generelle (endelig rekkefølge) autoregressive glidende gjennomsnittlige bestillingsorden, er: Problemoppgave: For hver av modellene for øvelse 3.1 og også for de følgende modellene, angi om det er (a) stillestående (b) inverterbar. Løsning: Dette er alle ARMA-modeller, så stasjonar holder om og bare hvis røttene til AR-ligningen er alle utenfor enhetens sirkel og omvendthet hvis og bare hvis røttene til MA-ligningen er alle utenfor enhetens sirkel. Merk: Forfatterne skriver hele tiden for å understreke at du må ta ut gjennomsnittet for disse modellene. Vi vil bare skrive Z t og anta at alt er gjennomsnittlig. Roten (e) til den autoregressive karakteristiske ligningen er (er), utenfor enhetens sirkel. Derfor er prosessen stasjonær. Roten (r) av den bevegelige gjennomsnittlige karakteristiske ligningen danner et tomt sett, således er alle røtter vakuum utenfor enhetens sirkel. Sett annerledes (på språket som ble brukt i forelesning), er det ingen røtter på eller i enhetssirkelen. Derfor er prosessen inverterbar. Roten (e) til den autoregressive karakteristiske ligningen danner et tomt sett, og alle røttene er vakuum utenfor enhetens sirkel. Sett annerledes (på språket som ble brukt i forelesning), er det ingen røtter på eller i enhetssirkelen. Derfor er prosessen stasjonær. Røttene til den bevegelige gjennomsnittlige karakteristiske ligningen kan bestemmes ved factoring: Begge røttene er utenfor enhetens sirkel. Derfor er prosessen inverterbar. Roten til den autoregressive karakteristiske ligningen er, utenfor enhetens sirkel. Derfor er prosessen stasjonær. Den bevegelige gjennomsnittlige operatøren er den samme som i modell 2, så prosessen er inverterbar. Røttene til den autoregressive karakteristiske ligningen Modulen kvadrert av disse komplekse konjugatrøttene er utenfor enhetssirkelen. Derfor er prosessen stasjonær. (Man kan bestemme dette uten å beregne røttene, når det er kjent at røttene er komplekse konjugater. Husk at produktet av gjensidige røtter er modulen kvadret og lik koeffisienten v 2, nemlig 0,6 i dette tilfellet, slik at modulen kvadrert er 10,6 gt 1.) Prosessen er inverterbar som i modell 1. Roten til den autoregressive karakteristiske ligningen er på enhetens sirkel. Derfor er prosessen ikke stasjonær. Roten til det bevegelige gjennomsnittlige karakteristiske polynomet er v 2, utenfor enhetssirkelen. Derfor er prosessen inverterbar. Roten til den autoregressive karakteristiske ligningen er på enhetens sirkel. Derfor er prosessen ikke stasjonær. Røttene til den bevegelige gjennomsnittlige karakteristiske ligningen kan bestemmes ved faktoring:
Comments
Post a Comment